PERTIDAKSAMAAN KUADRAT dan PERTIDAKSAMAAN LINEAR

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan kuadrat

menggunakan langkah2 berikut :

1. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan akar2 dari persamaan kuadrat tersebut.

3. Tentukan letak akar2 persamaan kuadrat pada garis bilangan.

4. Tentukan daerah + dan daerah -

5. Tulislah HP sesuai soal yang diminta

Contoh Soal : 

Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut

1. x² – 2x - 3 ≤ 0

    Jawaban :
    a. x² – 2x - 3 = 0

    b. (x - 3) (x + 1) = 0,
        maka x = 3,-1

    c. dan d. Gambar disamping
        yang diminta (≤) maka daerahnya  (-)

    e. HP {x│-1 ≤ x ≤ 3}

2. -2x² – 11x - 15 < 0

    Jawaban :

    a. -2x² – 11x - 15 = 0

    b. (2x - 5) (-x + 3) =0,

        maka x = 5/2,3

    c. dan d. gambar disamping
        yang diminta (<) maka daerahnya  (-)

    e. HP {x│x < 5/2 , x > 3}

 3. x² – 4x + 4 < 0

     Jawaban :

     a. x² – 4x + 4 = 0

     b. (x - 2)² = 0

         maka x = 2

         misal x = 3 => (3 - 2)² = 1 (+)

                   x = 1 => (1 - 2)² = 1 (+)

     c. dan d. gambar disamping
        yang diminta (<) maka daerahnya  (-) 

     e. HP { } atau Himpunan Kosong

PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Sifat2 :

1. a < b <=> b > a

    2 < 5 <=> 5 > 2

2. a < b <=> ac < bc untuk c > 0

    2 < 5 <=> 2(3) < 5(3)

3. a < b <=> ac > bc untuk c < 0

    2 < 5 <=> 2(-1) > 5(-1)

4. a< b <=> a+c < b+c

    2 < 5 <=> 2+5 < 5+5

      2 < 5 <=> 2+(-3) < 5+(-3)

Contoh Soal :

1. x - 5 < 3x + 4

    Jawaban :

    x - 3x < 4 + 5

       - 2x < 9

            x > -9/2

    Jadi, HP {x│x > -9/2}

2. -6 < 2x ≤ 10

    Jawaban :

    -6 < 2x  dan  2x ≤ 10

    2x > -6             x ≤ 5

      x > -3

    maka HP {x│-3 < x ≤ 5}

3. {(3x -5)/5} ≤ {(2 + 3x)/4}

     Jawaban :

     masing2 ruas (x20)

     4(3x - 5) ≤ 5(2 + 3x)

       12x - 20 ≤ 10 + 15x

     12x - 15x ≤ 10 + 20

                -3x ≤ 30

                    x ≥ -10

     maka, HP {x│x  ≥ -10}

4. {(7x - 5)/-5} ≥ {(3x - 3)/2}

     Jawaban :

     masing2 ruas (x10)

     -2(7x - 5) ≥ 5(3x - 3)

     -14x + 10 ≥ 15x - 15

    -14x - 15x ≥ -15 - 10

              -29x ≥ -25

                    x ≤ 25/29

     Maka, HP {x│x ≤ 25/29}

5. (x/3) - 2 ≥ 1

     Jawaban :

     masing2 ruas (x3)

     3(x/3) - 2(3) ≥ 1(3)

                 x - 6  ≥ 3

                       x ≥ 3 + 6

                       x ≥ 9 

     Maka, HP {x│x ≥ 9}

6. {(-2x - 5)/-3} ≥ -4

     Jawaban :

     masing2 ruas (x-3)

     (-2x - 5)  ≥ -4(-3)

         -2x - 5 ≥ 12

              -2x  ≥ 12 + 5  

              -2x  ≥ 17

                  x ≤ -17/2

     Maka, HP {x│x  ≤ -17/2}

7. 2 - x  ≤ {(3x - 3)/4} ≤ (2x + 3)

    Jawaban :

    {(3x - 3)/4} ≥ 2 - x       dan      {(3x - 3)/4} ≤ 2x + 3

    masing2 ruas (x4)                    masing2 ruas (x4)

       3x - 3 ≥ 4(2 - x)                      3x - 3 ≤ 4(2x + 3)

       3x - 3 ≥ 8 - 4x                         3x - 3 ≤ 8x + 12

       3x + 4x ≥ 8 + 3                       3x - 8x ≤ 12 + 3

               7x  ≥ 11                                  -5x ≤ 15

                  x ≥ 11/7                                   x ≥ -3

     maka, HP {x│x ≥ 11/7}

Menyelesaikan Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Linear 

Contoh : {(ax + b)/(cx + d)} < 0

Langkah Penyelesaian :

1. Tentukan pembuat nol (0) pembilang

2. Tentukan pemuat nol (0) penyebut, cx + d ≠ 0

3. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan

4. Tentukan daerah (+) dan (-)

5. Tentukan HP

Contoh Soal :

1. {(2x + 3)/(x - 4)} ≥ 0

     Jawaban :

     a. 2x + 3 = 0         dan        b. x - 4 = 0

                2x = -3                                x = 4

                  x = -3/2

    c. dan d. pada gambar di samping
       yang diminta (≥) maka daerahnya (+) 

    e. HP {x│x ≤ -3/2 atau x > 4}

2. {(2x - 5)/(x - 3)} ≤ 1

     Jawaban :

     {(2x - 5)/(x - 3)} - 1 ≤ 0

     {(2x - 5)/(x - 3)} - {(x - 3)/(x - 3)} ≤ 0

                       {(2x - 5 - x + 3)/(x - 3) ≤ 0

                                    {(x - 2)/(x - 3)} ≤ 0 

      a. x - 2 = 0       dan      b. x - 3 = 0

                x = 2                             x = 3

      c. dan d. pada gambar di samping
         yang diminta (≤) maka daerahnya (-)

      e. HP {x│2 ≤ x < 3}

3. {(2x + 5)/(1 - x)} > 1

     Jawaban :

     {(2x + 5)/(1 - x)} - 1 > 0

     {(2x + 5)/(1 - x)} - {(1 - x)/(1 - x)} > 0

                      {(2x + 5 - 1 + x)/(1 - x)} > 0

                                  {(3x + 4)/(1 - x)} > 0

      a. 3x + 4 = 0         dan    b. 1 - x = 0

                 3x = -4                         -x = -1

                   x = -4/3                       x = 1

      c. dan d. pada gambar di samping
      yang diminta (>) maka daerahnya (+)  

      e. HP {x│-4/3 ≤ x < 1}

Menyelesaikan Pertidaksamaan Bentuk Kuadrat 

Contoh : {(ax² + bx +c)/(px² + qx + r)} ≤ 0 

Keterangan : Untuk langkah2 penyelesaian bisa melihat langkah2

                         penyelesaian pada persamaan bentuk linear. 

Contoh Soal :

1. {(x - 1) /(x - 2)} ≤ {(x + 1)/(x + 4)}

Jawaban:

 {(x - 1)/(x - 2)}-{(x + 1)/(x + 4)}≤ 0

[{(x - 1)(x + 4)-(x + 1)(x - 2)}/(x - 2)(x - 4)]≤ 0

     [{(x²+3x-4)-(x²-x-2)}/(x-2)(x-4)]≤ 0 

                     {(4x - 2)/(x - 2)(x - 4)}≤ 0

a. 4x - 2 = 0       dan        b. (x - 2)(x - 4) = 0

          4x = 2                           x = 2 , x = 4

            x = 1/2
c. dan d. pada gambar di samping 

   yang diminta (≤) maka daerahnya (-)

e. HP {x│x < -1/4 atau 1/2 ≤ x < 2, x € R}

2. {(x - 3)(x + 2)/(2x - 1)(4 - x)} ≥ 0

Jawaban :

a. x - 3 = 0           atau       x + 2 = 0

          x = 3                                x = -2

b. 2x - 1 = 0         atau       4 - x = 0

            x = 1/2                          x = 4

c. dan d. pada gambar di samping

   yang diminta (≥) maka daerahnya (+)

e. HP {x│-2 ≤ x < 1/2 atau 3 ≤ x < 4}

3. {(x² + x - 6)/(-x² + 5x - 4)} < 0

Jawaban :

{(x + 3)(x - 2)/(-x + 1)(x - 4)} < 0

a. x + 3 = 0        atau       x - 2 = 0

           x = -3                           x = 2

b. -x + 1 = 0       atau       x - 4 = 0

            x = 1                            x = 4

c. dan d. pada gambar di samping

   yang diminta (<) maka daerahnya (-)

e. HP {x│x ≤ -3 , 1 < x ≤ 2 , dan x > 4}

PERTIDAKAMAAN BENTUK AKAR

 Contoh : √(ax + b) < √(cx + d)

Langkah2 Penyelesaian :

1. ax + b ≥ 0

2. cx + d ≥ 0

3. √(ax + b) < √(cx + d) 

    Kedua ruas dikuadratkan

4. Hasil dari 1,2,3 diletakkan pada garis bilangan

5. Tentukan HP

Contoh Soal :

1. √(x - 3) < 2

Jawaban :

a. x - 3 ≥ 0       dan       b. Tidak ada

         x ≥ 3 

c. {√(x - 3)}² < (2)²

              x - 3 < 4

                    x < 7

d. pada gambar di samping

e. HP {x│3 < x < 7, x € R}

2.  √(x + 2) < √(8 - 2x) 

Jawaban :

a. x + 2 ≥ 0         dan        b. 8 - 2x ≥ 0

          x ≥ -2                                  x ≤ 4

c. {√(x + 2)}² < {√(8 - 2x)}²

              x + 2 < 8 - 2x

                  3x < 6

                    x < 2

d. pada gambar di samping

e. HP {x│2 < x  ≤ 4}

3. √(x² + 2x - 3) < x + 2 

Jawaban :

a.  x² + 2x - 3  ≥ 0

    (x +3)(x - 1) ≥ 0

    x + 3 ≥ 0       atau        x - 1 ≥ 0

          x ≥ -3                           x ≥ 1

b. x + 2 ≥ 0

          x ≥ -2

c. {√(x + 2x - 3)}² < (x + 2)²

            x² + 2x - 3 < x² + 4x + 4

                        -2x < 7

                            x > -7/2

d. Pada gambar disamping

e. HP {x│x ≥ 1, x € R}

PERTIDAKSAMAAN BENTUK MUTLAK

│x│ = 1. x, Untuk x > 0 => │5│ = 5

            2. -x, Untuk x < 0 => │-5│= -(-5) = 5

            3. 0, Untuk x = 0 => │0│ = 0 

keteragan : jika │x│≤ a, maka -a ≤ x ≤ a

                  jika │x│ > a, maka x  ≥ a atau x ≤ a

Contoh soal :

1. │x│< 3 

Jawaban :

Cara 1

-3 < x -2 < 3

x - 2 > -3    dan    x - 2 < 3

     x > -1                     x < 5

Cara 2

(x - 2) < 3

x - 4x + 4 < 9

x - 4x - 5 < 0

(x - 5)(x + 1) < 0

x = 5 , x = -1HP {x│-1 < x < 5, x € R}